31. d: 2x+3y=6 doğrusuna ve
d': 3x-2y+8=0 doğruları veriliyor.
a) Bu iki doğruya uzaklıkları
eşit olan noktaların geometrik yeri nedir?
b) d ye olan uzaklığı, d' ye
olan uzaklığının 3 katı olan noktaların geometrik yeri nedir?
c) Bu iki doğruya olan
uzaklıklarının kareleri toplamı 10 olan noktaların geometrik yeri nedir?
Ç: a) Geometrik yere ait bir
P(x, y) noktası alalım.P nin verilen iki doğruya uzaklıklarını eşitleyelim.
Þ (2x+3y-6=3x-2y+8 veya 2x+3y-6=-3x+2y-8) Þ (x-5y+14=0 veya 5x+y+2=0) bulunur.
b) Geometrik yere ait bir
P(x, y) noktası alalım.P nin d ye olan uzaklığı d' ye olan uzaklığının 3 katı
olması bağıntısını yazalım.
Þ(2x+3y-6=9x-6y+24 veya 2x+3y-6=-9x+6y-24)
Þ (7x-9y+30=0 veya 11x-3y+18=0)
c) Geometrik yere ait bir P(x,
y) noktası alalım.P nin verilen iki doğruya uzaklıklarının kareleri toplamını 10 a eşitleyelim.
Þ (2x+3y-6)²+(3x-2y+8)²=130
Þ18x²+18y²+24x-68y-30=0
32. A(-1, 11) ve B(9, -4) noktaları veriliyor.
a) A ve B noktalarına eşit
uzaklıktaki noktaların geometrik yeri nedir?
b) [AB] yi 2/3 oranında bölen
noktaların geometrik yerini bulunuz.
c) Teorem: "Düzlemde
[AB] doğru parçasını verilen bir k oranında bölen noktaların geometrik yeri;
[AB] doğru parçasını içten ve dıştan k oranında bölen noktalar P ve Q olmak
üzere, [PQ] çaplı çemberdir." (Apolonyüs Çemberi)
Teoremini kullanarak b)
şıkkını ikinci bir yoldan çözünüz.
Ç: a) Aranan geometrik yere
ait bir nokta P(x, y) olsun.
½PA½=½PB½Þ
Þx²+y²+2x-22y+122=x²+y²-18x+8y+97
Þ20x-30y-25=0Þ4x-6y-5=0
bulunur.
b) Þ
Þ9.((x+1)²+(y-11)²)=4.((x-9)²+(y+4)²)
Þ5x²+5y²+90x-230y+710=0
Þx²+y²+18x-46y+142=0
Þ(x+9)²+(y-23)²-81-529+142=0
Þ(x+9)²+(y-23)²=468
Aranan geometrik yer, merkezi
M(-9,23) ve yarıçapı R= olan çemberdir.
c) A(-1, 11) ve B(9, -4) Önce
[AB] yi içten ve dıştan 2/3 oranında bölen P ve Q noktalarını bulalım.
½PA½=2x, ½PB½=3x Þ ½AB½=5x
9-(-1)=10Þ10/5=2 Þ P nin apsisi -1+2.2=3;
11-(-4)=15Þ15/5=3ÞP nin ordinatı 11-2.3=5
½QA½=2y, ½QB½=3y Þ ½AB½=y
Q nün apsisi -1-2.10=-21,
Q nün ordinatı 11+2.10=41
O halde P(3, 5) ve Q(-21, 41)
olur.
ÞM(-9, 23),
Buna göre aranan Apolonyüs
çemberi;
(x+9)²+(y-23)²=468 bulunur.
33. "Dokuz Nokta (Euler) Çemberi:
Bir çemberde, kenarların orta
noktaları, yükseklik ayakları ve yüksekliklerin kesim noktalarını köşelere
birleştiren doğru parçalarının orta noktaları aynı çember üzerinde bulunur.
İspat: 
ABC üçgeninin kenarlarının
orta noktaları D, E, F;
yüksekliklerinin ayakları H,
K, L; yüksekliklerinin kesim noktası (ortosantr) O, O ile köşeleri birleştiren
doğru parçalarının ortaları M, N, P olsun.
Üçgenin A köşesini Oy ekseni
üzerinde, B ve C köşelerini Ox ekseni üzerinde alalım:
A(0, a), B(b, 0), C(c,0) olsun.Buna göre kenarların denklemi
AB: x/b+y/a=1Þax+by=ab
AC: x/c+y/a=1Þax+cy=ac
BC: y=0 olur.
ÞBK: y=c(x-b)/aÞcx-ay=bc
ÞCL: y=b(x-c)/aÞbx-ay=bc
Bu iki denklemin ortak
çözümünden O ortasantrı bullalım:
BKÇCL={O}Þ O(0, -bc/a)
M noktası [OA] nın ortası
olduğundan M
D noktası [BC] nın ortası olduğundan
D
MHD dik açı olduğundan, [MD]
çaplı çember MHD noktalarından geçer.Bu çemberin denklemi;
çemberin merkezi [MD] nin
ortası M'(;
yarıçapı R=½M'D½=
MHD çemberinin denklemi:
Þ x²+y² -
ACÇBK={K}
AC: ax+cy=ac
BK: cx-ay=bc Þ K(
AB: ax+by=ab
CL: bx-ay=bcÞL(
[AC] ve [AB] nin ortası
E, F dir.
[OB] nin ortası N
[OC] nin ortası P
[NE] nin ortası M''
[PF] nin ortası M'''
Görüldüğü gibi M', M'', M'''
noktaları aynı nokta olup
[MD], [NE],[PF] çaplı çember
aynı çemberdir ve bu çember H, K, L yükseklik ayaklarından geçer.Böylece
H,D,P,E,K,M,L,F,N dokuz
noktadan aynı çember geçer.
34. (x-4)²+(y-3)²=9 ile (x+2)²+(y+5)²=16
çemberleri arasındaki en kısa ve en büyük uzaklık kaç birimdir?
Ç: 
Şekilde görüldüğü gibi, aranan
en kısa uzaklık
|BC|=|OO�|-(R+R�)
en büyük uzaklık ise, |AD|=|OO�|+(R+R�)
dür.
Verilen denklemlerden,
O(4, 3), R=3, O�(-2,-5), R�=4
ve |OO�|=olduğundan,
En kısa uzaklık |BC|=10-(4+3)=3
br,
En büyük uzaklık |AD|=10+(4+3)=17
br bulunur.
35. (x-1)²+(y+2)² = 4
çemberinin A(-1, 2) noktasına göre simetriğinin denklemi nedir?
Ç: 
Verilen çember üzerinde
değişken bir P(x, y) noktası alalım.P nin A ya göre simetriği
P�(x�, y� ) olsun.[PP�] nın
ortası A olduğundan;
P noktası çember üzerinde
olduğundan koordinatları çember denklemini sağlar;
(x-1)²+(y+2)² = 4Þ(-x�-2-1)²+(-y�+4+2)² = 4
Þ (-x�-3)²+(-y�+6)² = 4
Þ(x�+3)²+(y�-6)² = 4
O halde istenen denklem;
(x+3)²+(y-6)² = 4
bulunur.Dikkat edilecek olursa bu bir çember denklemi olup, merkezi verilen
çemberin merkezinin A noktasına göre simetriği ve yarıçapları eşittir.
36. 
Şekilde tana=
2 ve tanb= -1/2 , B(-2, 0) olduğuna göre ABC üçgeninin çevrel
çemberinin denklemi nedir?
Ç: 
A(0, a) olsun tan a= 2 Þa/2=2 Þ a=4ÞA(0, 4)
C(0, b) olsun tanb=-1/2
Þ tan(BCA) = ½
Þ4/b=1/2Þb=8 Þ C(8, 0) bulunur.
[BC] ve [AB] kenarlarının
orta noktaları,
D(3, 0) ve E(-1, 2) dir.Kenar
orta dikmeleri üçgenin çevrel çemberin merkezinden geçer.Bunun için EM ve DM kenar orta dikme doğrularını bulup kesiştirelim:
, E(-1, 2)
ÞEM: y-2 = -1/2(x+1)Þx+2y=3
DM: x=3
Buna göre M(3, 0) olur.R=|MA|=|MB|=5
ve çember denklemi de;
(x-3)²+y²=25 bulunur.
Not: Dikkat edilirse AB ile AC
doğrularının eğimleri çarpımı �1 olup birbirine diktir.O halde aranan çember
[BC] çaplı çemberdir.
37. y=mx doğrularının
x²+(y-1)²=4 çemberinden ayırdığı kirişlerinin orta noktalarının geometrik
yeri nedir?
Ç: 
I. Yol:y=mx doğrusu ile
çemberi kesiştirelim.
x²+(mx-1)²=4Þ(1+m²)x²-2mx+3=0
Kesim noktaları A ve B , orta
nokta P(x, y) olsun.
y=mx =
Bu iki eşitlikten m
parametresi yok edilirse (örneğin birincinin karesi alınıp buradaki m² yerine
ikinciden bulunan y li değer yazılırsa)
x²+y²-y=0 denklemi bulunur.
II. Yol:
Aranan geometrik yer P(x, y)
olsun.Kirişlerin orta dikmeleri merkezden geçeceğinden;
MP^AB
Þ Þ x²+y²-y=0 denklemi bulunur.
38. A(3, 3) noktasına olan uzaklığı, başlangıç noktasına
olan uzaklığının 2 katına eşit olan noktalarının geometrik yeri nedir?
Ç: Aranan geometrik yere ait
bir nokta P(x, y) olsun.Probleme göre |AP|=2|OP|
olmalıdır.
Þx²+y²+2x+2y-6=0 bulunur.
39. A(3, 0) noktasına ve x=1 doğrusuna eşit uzaklıktaki
noktaların geometrik yeri nedir?
Ç: Aranan geometrik yere ait
bir nokta P(x, y) olsun.
Þ y²-4x+8=0 bulunur.
40. A(-2, -5) ve B(3,
4) noktalarına olan uzaklıklarının kareleri toplamı 70 olan noktaların geometrik
yeri nedir?
Ç: Aranan geometrik yere ait bir nokta M(x, y) olsun.
½MA½²+½MB½²=70Þ(x+2)²+(y+5)²+(x-3)²+(y-4)²=70
Þ2x²+2y²-2x+2y-16=0Þx²+y²-x+y-8=0
bulunur.
41. A(-2, -5)
noktasına olan uzaklığının karesi, 8x+15y=34 doğrusuna olan uzaklığının 3
katına eşit olan noktaların geometrik yeri nedir?
Ç: Þ
17x²+17y²+44x+25y+595=0 veya
17x²+17y²+92x+215y+391=0 çemberleri bulunur.
42. 
Şekildeki Ç: (x+2)²+(y-3)²=4
çemberine ve
d :3y=4x doğrusuna teğet olan
M(x, y) merkezli çemberlerin merkezlerinin geometrik yerini veren bağıntı
nedir?
Ç: 
Geometrik yere ait bir
çemberin merkezi M(x, y) olsun.Şekilden ½MA½=½MH½+2
Þ
43. Aşağıdaki şekilde;
A merkezli çember denklemi;
x²+y²=4,
B merkezli çember denklemi
(x-6)²+y²=9 dur.
Her iki çembere de teğet olan
M merkezli çemberlerin merkezlerinin geometrik yerinin denklemini bulunuz.
Ç: 
Geometrik yere ait bir çemberin merkezi M(x, y) olsun.
½MA½-2=½MB½-3=rÞ½½MB½-½MA½½=1
Þ½=1 bulunur.
44. x²+y²=4 çemberine ve
(x-3)²+y²=25 çemberine teğet olan çemberlerin merkezlerinin geometrik yeri
nedir?
Ç: 
Verilen çemberler şekilde görüldüğü gibi B(-2, 0) da
teğettir.Geometrik yere ait, her iki çembere de teğet değişken bir çemberin
merkezi M(x, y) ve yarıçapı r olsun.
½MO½+½MA½=½MO½+½TA½-½TM½Þ½MO½+½MA½=2+r+5-r
Þ½MO½+½MA½=7
Buna göre aranan geometrik
yerin denklemi
bulunur.
 |
Bu yorumun beslemesine abone olun
